Расчет амплитудных и фазовых частотных характеристик системы и проверка ее устойчивости

Необходимым этапом проектирования систем уравновешивания является построение частотных характеристик, так как они дают достаточно полное представление о динамических свойствах таких систем, в частности о их реакциях на гармонические возмущения различной частоты, о резонансных свойствах и о запасах динамической устойчивости.

Амплитудно-фазовую частотную характеристику замкнутой системы необходимо строить в полосе частот, на две декады превышающей спектр частот входных воздействий. Экспериментально установлено, что частота основной гармоники вынужденных осевых колебаний ротора, как правило, равна удвоенной частоте его вращения 2Ω, поэтому исследуемые частоты можно ограничить диапазоном 0 ≤ ω ≤ 2 Ωmax X 102. Резонансные частоты систем уравновешивания реальных многоступенчатых насосов располагаются в диапазоне 500—1000 с-1 и для низкооборотных (n ≤ 3000 об/мин) насосов, как правило, опасности не представляют.

Динамическую устойчивость можно проверять по частотному критерию Найквиста, так как он дает возможность оценивать одновременно запасы устойчивости по амплитуде и фазе. В соответствии с этим критерием замкнутая система устойчива, если годограф передаточной функции разомкнутой системы W (iω) при изменении частоты от 0 до ∞ охватывает точку (—1, i0) r/2 раз против часовой стрелки, где r — число правых корней характеристического уравнения (4.58) разомкнутой системы.

Когда характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет s нулевых корней, годограф при ω =0 дополняется по часовой стрелке дугой большого радиуса (R → ∞) с началом на положительной вещественной оси и с центральным углом.

Когда имеется пара чисто мнимых корней, соответствующих множителю в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы, то ветви годографа в точке разрыва ω=√x/T1 нужно соединить в направлении часовой стрелки дугой окружности большого радиуса с углом п.

Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на частоте разрыва дугой большого радиуса, не охватывал точку.

Таким образом, при использовании критерия Найквиста необходимо предварительно проверить, устойчива ли разомкнутая система, и если неустойчива, то сколько правых корней имеет ее характеристическое уравнение.

Из формул (4.33) видно, что все коэффициенты А; положительны, т. е. необходимое, но недостаточное условие устойчивости (условие отсутствия правых корней) выполняется.

Для проверки устойчивости регулятора и замкнутой системы в целом можно использовать алгебраический критерий Рауса, который легко реализуется на ЭВМ и указывает число правых корней, если система неустойчива. Критерий требует построения таблицы Рауса (табл. 4.1), в первой строке которой расположены четные, а во второй — нечетные коэффициенты характеристического уравнения. Элементы последующих строк вычисляются по приведенным в таблице формулам. Таблица содержит n + 1 строку. Для устойчивости системы- необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца Рауса были положительными. Число отрицательных элементов первого столбца равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

Исследование устойчивости более простых модификаций уравновешивающих устройств с одним цилиндрическим дросселем значительно упрощается, так как для них уравнение регулятора имеет третий порядок и регулятор всегда динамически устойчив.

В табл. 4.2 приведена схема синтеза уравновешивающего устройства на заданные параметры и пример расчета гидропяты насоса ЦНС 60-180. После выбора конструктивных размеров пяты по предложенной схеме необходимо провести поверочный расчет уравновешивающего устройства.

Блок-схема полного поверочного расчета позволяет определять статические (рис. 4.14) и динамические (рис. 4.19) характеристики уравновешивающего устройства с дополнительным цилиндрическим дросселем. Характеристики обычной односторонней пяты можно получить как частный случай, если в исходных данных задать параметр Г1 (признак конструкции) равным нулю.

Статический расчет включает вычисление равновесного зазора u0, расходов Q6, q0 = Q0/Qб и статической жесткости в номинальном режиме насоса и для предельных значений безразмерной осевой силы, где диапазон отклонений осевой силы задается в исходных данных (число В1).

Для определения запасов устойчивости по амплитуде и фазе используется частотный критерий Найквиста, для работы с которым требуется предварительный анализ устойчивости разомкнутой системы по алгебраическому критерию Рауса. Для проверки устойчивости разомкнутой системы коэффициенты ее характеристического уравнения заносятся в массив и в процедуре «Раус» определяется параметр В, который вместе с массивом коэффициентов оператора разомкнутой системы выводится на печать. Для односторонней пяты программа содержит аналогичное смещение номера коэффициентов оператора на две единицы влево.

Для проведения детального анализа динамики системы уравновешивания в цикле по элементам заданного массива дискретных значений ш вычисляются частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем, действительные и мнимые составляющие вектора Найквиста, и на каждом шаге цикла их значения выводятся на печать.

В предложенной расчетной модели ротор с системой уравновешивания представлен сосредоточенной массой с одной степенью свободы (рассматриваются лишь осевые колебания ротора). В реальных условиях неизбежные изгибные колебания неуравновешенного ротора вызывают периодические перекосы разгрузочного диска, сопровождающиеся синхронными изменениями давлений в камерах гидропяты и, следовательно, изменениями уравновешивающей силы. В результате изгибные колебания ротора возбуждают угловые и осевые колебания диска гидропяты, жестко связанного с ротором.

Существенное влияние на процесс таких взаимосвязанных радиальных, угловых и осевых колебаний оказывают гидродинамические моменты, возникающие в кольцевых и в торцовом дросселях, а также дополнительные радиальные гидродинамические силы, обусловленные перекосами.

Таким образом, предложенную схему динамического расчета следует рассматривать как первое приближение при разработке инженерного метода анализа динамических характеристик совместных изгибных и осевых колебаний многомассового упругого ротора с автоматической системой уравновешивания. Актуальность этой задачи обусловлена тем, что система авторазгрузки может оказывать решающее влияние на вибрационное состояние ротора, поскольку в ней дросселируются большие перепады давления, а потери мощности с протечками достигают 10 % мощности, потребляемой насосом. Для крупных насосов это сотни киловатт, и даже небольшой доли этой мощности достаточно, чтобы поддерживать высокий уровень вибраций, если не принимать специальных мер для стабилизации ротора. Статические характеристики менее чувствительны к изгибным колебаниям вала, поэтому результаты статического расчета достаточно хорошо согласуются с экспериментом.