Уравнение Эйлера
Жидкость, перекачиваемая под действием центробежной силы насосом, при прохождении через межлопаточные пространства (каналы) рабочего колеса приобретает как потенциальную, так и кинетическую энергию.
На рис. 2.25 изображена схема изменения направления скоростей на рабочем колесе при входе жидкости на рабочую лопатку и выходе с нее. Энергия в потоке жидкости увеличивается в результате силового воздействия лопаток колеса на жидкость и соответствующего расхода энергии двигателя, приводящего насос в действие. Напор, развиваемый насосом, может характеризовать удельную энергию, т. е. энергию, приобретенную единицей массы жидкости.
Рис. 2.25. Схема изменения направления скоростей на рабочем колесе насоса
Эйлер вывел уравнение для определения теоретического напора при следующих допущениях: а) перекачиваемая жидкость является идеальной (при ее протекании через проточную часть насоса исключаются гидравлические сопротивления); б) рассматриваемый насос имеет бесконечно большое число лопаток, благодаря чему все частицы жидкости движутся внутри колеса по одинаковым траекториям, имеющим очертания лопаток.
Бесконечное число лопаток дает бесконечно узкий канал для прохода жидкости и обеспечивает ламинарный характер течения жидкости, что упрощает построение векторной диаграммы на выходе. Допустим, что за 1 с через колесо протекает масса жидкости т. При входе в лопаточное колесо частица жидкости получает окружную скорость направленную по касательной к окружности входных кромок и равную u1 = 0,5ωD1, где ω — угловая скорость колеса насоса (по часовой стрелке); D1 — диаметр внутренней окружности колеса. Кроме того, жидкость получает относительную скорость ω1 которая направлена по касательной к контуру лопатки от положения входа.
Абсолютная скорость с1 может быть найдена построением параллелограмма, сторонами которого являются векторы скорости u1 и ω1. После того как частица жидкости совершила путь вдоль лопаток колеса, при выходе она будет иметь окружную скорость u2, направленную по касательной к наружному контуру колеса, и относительную ω2, направленную по касательной к контуру лопатки. Построив параллелограмм, можно найти абсолютную скорость выхода с2. Напор Ht∞ (t — идеальная жидкость; ∞ — бесконечно большое число лопаток) определяется на основании закона, известного из теоретической механики, по которому приращение момента количества движения материальной системы относительно данной оси за некоторый промежуток времени равно моменту импульса всех внешних сил за тот же промежуток времени (например, за 1 с).
Количество движения массы жидкости при входе равно произведению массы на скорость F1 = mc1, а при выходе F2 = mс2. Момент количества движения массы жидкости при входе равен 0,5mc1D1 cos α1, момент количества движения массы жидкости при выходе 0,5mc2D2 cos α2, где α1, α2 — углы между направлениями абсолютной и окружной скоростей. Момент импульса внешних сил равен разности моментов количества движения М = 0,5 (mc2D2 cos α2 — mc1D1 cos α1). Для упрощения обе части уравнения умножим на угловую скорость и разделим на массу, а левую часть разделим и умножим на ускорение свободного падения:
Mωg/(mg) = 0,5 (ωc2D2 cos α2 — mc1D1 cos α1. (2.6)
Известно, что мощность равна произведению угловой скорости и момента импульса внешних сил: N = ωМ. Если мощность выразить через теоретический напор, то она равна N = mgHt∞, откуда
Ht∞ = N/(mg). (2.7)
Заменяя в уравнении (2.6) произведение Мω на N и помня, что u1 = 0,5ω1D1 и u2 = 0,5ω2D2, получаем N/(mg) = (c2u2 cos α2 —с1u1 cos α1)/g. С учетом равенства (2.7) теоретический напор определится из выражения Ht∞ = (c2u2 cos α2 — c1u1 cos α1)/g.
Полный теоретический напор равен сумме статического и динамического напоров: Ht∞ = Hст + Hдин. Это очевидно из другого уравнения Эйлера, полученного через уравнение Бернулли: Ht∞ = Hст + Hдин = (n2 — u1)/(2g) + (w1 — w2)/(2g) + (c2—c1)/(2g).
Так как проекция абсолютной скорости на направление окружной скорости u2 представляет собой тангенциальную составляющую абсолютной выходной скорости с2, то она вычисляется по выражению c2u = с2 cos a2. Ввиду того что у большинства центробежных насосов отсутствуют направляющие аппараты при входе жидкости на лопатки и во избежание больших гидравлических потерь от ударов жидкости о лопатки угол ах принято выбирать равным 90°. Но cos 90° = 0, следовательно, c1u1 cos а1 = = 0. Таким образом, получаем основное уравнение центробежного насоса, или уравнение Эйлера:
Ht∞ = u2c2 cos a2/g = u2c2u/g. (2.8)
Основные уравнения для получения теоретического напора Ht в центробежном насосе были получены при условии, что траектория каждой частицы жидкости, движущейся по рабочему колесу, совпадает с профилем лопатки. Это было бы возможно лишь в том случае, когда каждая элементарная струйка направлялась бы двумя бесконечно тонкими лопатками, которых потребовалось бы бесконечно большое число. В действительном насосе число лопаток ограничено и они имеют определенную толщину. Это приводит к искажению треугольников скоростей, пересечению струек жидкости и образованию различных завихрений. Затраты на эти потери энергия снижают создаваемый напор на величину коэффициента φ = 1/{1 + 2 /z·1/[1 — (γ1/γ2)2]}, где ψ — технологический коэффициент, который зависит от степени обработки проточной части и угла β2 между направлениями относительной и окружной скоростей, находится по соотношению ψ= (0,55÷0,65) + 0,6 sin β1 ≈ 0,8÷1,3; z = 6÷9 — число лопастей судового насоса.
Для получения действительного напора необходимо учитывать также потери на преодоление гидравлических сопротивлений в насосе. Тогда (2.8) может быть преобразована в формулу действительного напора Hд = Ht∞φηr=u2c2uφηr/g.