Сведения из сопротивления материалов

При изучении вопросов по сопротивлению материалов вводится понятие силы. В реальных физических телах силы служат причиной возникновения деформаций.

Действие силы на тело определяется направлением и линией ее действия, численным значением и точкой приложения. Поэтому сила является векторной величиной. Вектор изображают отрезком, на конце которого ставится стрелка (рис. 78). Направление стрелки указывает направление вектора, а ее длина — величину вектора, измеренную в выбранном масштабе. Вектор, имеющий начало в точке А и конец в точке В, можно обозначить теми же буквами, но с черточкой наверху АВ, причем на первом месте ставят букву, стоящую в начале вектора, а затем букву, стоящую в конце. Иногда вектор обозначают одной буквой с черточкой наверху: Р, Q.

Модуль вектора (численное значение силы) обозначают теми же буквами, но без черточки наверху: так, АВ — модуль вектора АВ, Р — модуль вектора Р, Q — модуль вектора Q.

Под действием внешних сил тела изменяют свою форму и размеры — деформируются, и при некоторой величине внешних сил могут разрушаться. Способность деформироваться — одно из основных свойств всех твердых тел.

Различают следующие виды деформаций: растяжение и сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

Под внешними силами понимают силы, приложенные к телу извне. Результатом действия внешних сил на тело будет с внешней стороны — его деформация, а с внутренней — появление внутренних сил, препятствующих деформации. При этом сами деформации могут быть упругими, когда тело после снятия нагрузки приобретает первоначальную форму, или остаточными, когда тело после снятия нагрузки не может восстановить свою первоначальную форму. Величину сил сопротивления, приходящихся на единицу площади сечения тела, называют напряжением.

Если тело рассечено на две части А и В плоскостью, перпендикулярной действующим внешним силам (см. рис. 78), то внешние силы в этом случае вызывают увеличение (а при сжатии — уменьшение) расстояния между смежными плоскостями mn и m1n1 создавая продольную деформацию. Внутренние силы, противодействуя этой деформации, располагаются перпендикулярно плоскости сечения, и интенсивность их действия выражается нормальным напряжением.

Рис. 79. Схематическое изображение касательного напряжения.

Другой вид деформации получаем, когда внешние силы стремятся сдвинуть две плоскости сечения относительно друг друга (рис. 79). В данном случае внутренние силы сопротивления располагаются в этих плоскостях и выражаются касательным напряжением.

В правильно выполненных конструкциях напряжение не только не достигает предела прочности, но составляет только часть его. Это делают для того, чтобы конструкция надежно работала в течение определенного срока. Напряжение, удовлетворяющее этому требованию, называется допускаемым напряжением. Оно обозначается буквой о. Предполагая, что допускаемое напряжение составляет лишь часть предела прочности ап, напишем: [о]=оп/п, где п — число, показывающее, какую именно часть прочности оп составляет допускаемое напряжение. Число п называют коэффициентом надежности или запасом прочности. Чем больше п, тем прочнее конструкция, однако и масса ее больше. Поэтому при конструировании деталей стремятся получить лишь требуемый запас прочности, а не максимально возможный.

Действующее напряжение — это фактическое напряжение в конструкции; сравнивая это напряжение с напряжением, допускаемым для данного материала, можно проверить прочность конструкции.

В зависимости от продолжительности действия различают нагрузки постоянные и временные. Первые действуют в течение всего времени работы конструкции, вторые — лишь в течение относительно коротких периодов времени.

По характеру воздействия нагрузки разделяются на статические, динамические и повторно-переменные. Рассмотрим их особенности.

Статическая нагрузка прикладывается к элементу конструкции, постепенно возрастая от нуля до максимальной и затем в течение более или менее длительного времени остается постоянной или почти не изменяется.

Динамическая нагрузка прикладывается к элементу конструкции сразу полностью и в момент приложения имеет некоторую скорость, а следовательно, запас кинетической энергии. Детали машин в ряде случаев подвергаются ударному воздействию нагрузок, связанных с движением этих деталей. Наличие ускорений при движении сопровождается появлением сил инерции, которые и обусловливают ударный характер нагрузок на детали.

Повторно-переменная нагрузка изменяется с течением времени, обычно по периодическому закону.

В случае, когда  к призматическому стержню приложены по концам две силы Р, действующие по его оси, в стержне возникает деформация растяжения или сжатия (рис. 80, а, б). При растяжении длина стержня увеличивается, а при сжатии уменьшается. Продольная сила N во всех поперечных сечениях стержня численно равна внешней силе Р. При растяжении продольную силу N считают положительной (рис. 80, в), при сжатии — отрицательной (рис. 80, г). Величину нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня при его растяжении или сжатии, определяют по формуле a=N/F, где N — численное значение силы, a F — площадь поперечного сечения стержня.

Если первоначальная длина стержня равна l, а длина его после деформации l1, то приращение Дl = l1 — l является полным изменением длины стержня и называется его абсолютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине ε = Δl/l называется относительным удлинением или продольной деформацией. Эта величина определяет удлинение каждой единицы первоначальной длины стержня. При умножении е на 100 получается удлинение стержня в процентах по отношению к первоначальной длине. Опыты показывают, что между продольной деформацией и нормальными напряжениями, действующими в поперечных сечениях стержня, в известных пределах нагружения существует прямо пропорциональная зависимость σ=Еε, или σ = σ/Е, где Е — модуль упругости материала. Эта зависимость определяет содержание основного закона сопротивления материалов, называемого законом Гука. Он читается так: продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению. Модуль упругости определяют по справочным данным.

Деформация сдвига или среза возникает в том случае, когда в поперечном сечении стержня внутренние силы упругости приводятся к одной силе, расположенной в плоскости сечения, т. е. к поперечной силе Q (рис. 81). Примером элемента металлических конструкций, работающих на срез, может служить заклепка (рис. 82, а).

При достаточной величине действующих сил Р стержень заклепки может срезаться по сечению ab. Срез (или сдвиг) вызывается действием двух равных и очень близко расположенных одна к другой сил, направленных в противоположные стороны перпендикулярно оси стержня. Срез, как правило, сопровождается смятием материала в местах соприкосновения отдельных конструкций. Так, сила Р, стремящаяся срезать заклепку по плоскости ab (рис. 82, б), передается путем давления стенок отверстия на стержень заклепки. При большом давлении может произойти значительное смятие стенок отверстия или стержня заклепки по поверхностям соприкосновения.

Смятием называется местная деформация сжатия по площадкам передачи давления от одного элемента конструкции другому.

Для определения величины напряжений, возникающих в сечении стержня заклепки под действием силы Р, применяют метод сечения. Рассечем мысленно стержень заклепки на две равные части и рассмотрим условия равновесия одной из частей стержня (см. рис. 82, б). Со стороны на нее передается внешняя сила Р, а по сечению ab действуют внутренние силы упругости. Статической равнозначащей внутренних сил упругости в сечении ab будет поперечная сила Q, возникающая в плоскости сечения. Для равновесия рассматриваемой части необходимо, чтобы поперечная сила Q, возникающая в сечении ab, уравновешивала силу Р, т. е. чтобы силы Q и Р были равны и параллельны, но направлены в противоположные стороны. Следовательно, поперечная сила Q есть равнодействующая касательных усилий в сечении, численно равная силе Р.

Приближенно принимают, что на каждую единицу площади сечения действует внутренняя сила одной и той же величины. Если на единицу площади сечения приходится внутренняя сила — касательное напряжение т, а площадь сечения Fcp=nd2/4, где d — диаметр заклепки, то равнодействующая внутренних сил.  Это формула — приближенная, она дает среднее значение касательных напряжений, но точность ее вполне достаточна для практических работ. Условие прочности элементов, работающих на срез, определяется выражением т=Р/Fср≤[тср], где [тер]— допускаемое касательное напряжение при расчете на срез. Обычно принимают [т]= (0,75—0,80) [а].

На стержень заклепки давление со стороны отверстия в листе передается по боковой поверхности полуцилиндра, высота которого равна толщине листа 6 (рис. 83, а, б).

Проверку элементов конструкции на смятие производят по формуле σсм =  Р/Fсм≤[σсм],     где Fсм — площадь смятия (рис. 83, в), [σсм] — допускаемое напряжение на смятие, которое всегда существенно превышает допускаемое напряжение на растяжение [σ]. Обычно принимают [σсм]= (1,7÷2,2) [σ].

Деформация кручения возникает, если к стержню (рис. 84, а) приложены по концам две пары сил с одинаковыми по величине, но противоположными по направлению моментами т, действующими в плоскостях, перпендикулярных его оси. Если величина момента пары сил не превышает некоторого предела, то, как установлено опытами, ось стержня при кручении останется прямой, а поперечные сечения повернутся вокруг оси относительно друг друга на некоторый угол. Если считать крайнее левое сечение закрепленным, то все остальные сечения будут повернуты относительно него на тем больший угол, чем дальше находится рассматриваемое сечение от закрепленного сечения. Угол поворота ВОВ1 крайнего правого сечения относительно левого неподвижного сечения называется углом закручивания стержня и обозначается буквой φ.

Для выяснения вопроса о внутренних усилиях и напряжениях, возникающих в поперечных сечениях стержня при его кручении, вновь применим метод сечения. Рассечем мысленно стержень по поперечному сечению на две части и отбросим одну из них — правую (рис. 84,6). Чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, внутренние силы упругости в сечении должны уравновешивать внешнюю пару с моментом, приложенным к рассматриваемой части. Результирующий момент внутренних касательных сил, действующий в плоскости сечения, называют крутящим моментом в поперечном сечении. На рис. 84, б внутренняя пара в сечении представлена стрелкой, показывающей направление действия; момент ее обозначен Мк. Из условия равновесия левой, отсеченной части Мк=m. Это справедливо и в приложении к правой части стержня. Таким образом, при кручении стержня внешними парами сил, приложенными к его торцам, крутящий момент в поперечных сечениях стержня равен моменту внешних сил. Крутящий момент представляет собой момент пары внутренних сил, действующий в плоскости поперечного сечения стержня, поэтому в поперечных сечениях должны возникать касательные напряжения т, величина которых зависит от величины крутящего момента в сечении и от размеров сечения.

Деформацию изгиба часто испытывают элементы самых различных конструкций. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. Наиболее распространен такой случай, когда внешние силы, перпендикулярные оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных осей ее поперечного сечения, в частности, в плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии балки (рис. 85, а). Такой изгиб называют прямым. Если же силы, вызывающие деформацию изгиба, действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей ни через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения, имеет место косой изгиб (рис. 85, б).

При прямом изгибе в поперечных сечениях балок возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. Но возможен частный случай, когда в поперечных сечениях балки возникает только один силовой фактор: изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю. В этом случае изгиб называют чистым. Он возникает, например, когда балка изгибается двумя противоположно направленными парами сил, приложенными к ее торцам (рис. 85, в). Чистый изгиб возникает также в балках при нагружениях сосредоточенными силами или распределенной нагрузкой: например, чистый изгиб будет испытывать средний участок балки, симметрично нагруженной двумя равными силами Р (рис. 85, г). Если внешние силы направлены вдоль оси балки, то возникает продольный изгиб, до тех пор пока сжимающие силы не превзойдут некоторой предельной величины, зависящей от длины стержня и жесткости его поперечного сечения, стержень будет испытывать обычное сжатие и ось его будет оставаться прямолинейной. Если же сжимающие силы станут больше этой предельной величины, стержень внезапно выпучится и ось его изогнется. Вследствие изгиба стержня появится изгибающий момент, который вызовет дополнительные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться. Это обстоятельство необходимо учитывать.