Николай Иванович Лобачевский

Расскажем в заключение о великом русском математике, который творил в начале XIX века, но полное раскрытие и практическое воплощение идей которого дело недавнего прошлого, настоящего и будущего.

Речь идет о профессоре Казанского университета Николае Ивановиче Лобачевском (1793— 1856), имя которого составляет гордость нашей науки. В 20-х годах прошлого века он создал новую геометрию.

Николай Иванович Лобачевский.

Более двух тысячелетий существовала геометрия Эвклида. В этой стройной и ясной системе каждое последующее положение неопровержимо следовало из предыдущего. Вся система, как прекрасное зданий, величаво покоилась на небольшом количестве самых первых утверждений, принятых без доказательств, — пяти аксиомах и пяти постулатах. Два тысячелетия не поколебали ни камня в основании здания, воздвигнутого Эвклидом.

Геометрия, конечно, росла и крепла: доказывались новые теоремы, решались новые задачи. Но в основе ее по-прежнему лежали все те же пять аксиом и пять постулатов. «Все прямые углы равны», «две точки можно соединить единственной прямой» и т. д. Очевидность таких утверждений была вне сомнений.

Геометрия Эвклида казалась единственно возможной геометрией. Принимая пространство, образ которого вытекает из геометрии Эвклида, за единственно возможное, немецкий философ-идеалист Иммануил Кант объявил идею пространства первоначальной идеей, вложенной в наше сознание до всякого опыта.

Было только одно темное место в системе Эвклида — его пятый постулат. Этот постулат, говорящий, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной, не был столь очевидным, как остальные аксиомы и постулаты. Но ученые даже не помышляли о возможности иной геометрии. Все усилия они употребляли на то, чтобы вывести пятый постулат, исходя из других аксиом и постулатов. Величайшие геометры всех времен затратили много труда, пытаясь доказать темный пятый постулат. Но всякий раз, когда уже казалось, что доказательство найдено, в нем обнаруживался какой-нибудь логический дефект, сводивший на нет все хитроумные построения.

Молодой Лобачевский вначале также отдал дань поискам доказательств пятого постулата. Однако он скоро пришел к мысли о принципиальной невозможности такого доказательства.

Но недоказуемость пятого постулата, которая для других означала бы конец попыткам, для великого новатора науки стала отправной точкой исканий, завершившихся величайшим революционным переворотом в науке.

Гениальный математик приходит к необычайно смелому выводу: система Эвклида не есть единственно возможная геометрия. «Всем известно, — пишет Лобачевский, — что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения».

Лобачевский утверждает: возможна и другая геометрия. И он создает эту новую геометрию!

Со своей теорией Лобачевский впервые познакомил ученых в 1826 году. В основу своей геометрии Лобачевский кладет все прежние аксиомы и постулаты, за исключением пятого. Вместо пятого эвклидова постулата он выдвигает другой: через точку можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной прямой. Все эти прямые, пишет Лобачевский, заполняют некоторый угол, стороны которого ученый называет прямыми, параллельными данной прямой.

На своей системе аксиом и постулатов он воздвигает геометрию, ничуть не менее стройную, чем геометрия Эвклида.

Те положения новой геометрии, которые доказываются без применения пятого постулата, естественно, совпадают с положениями старой геометрии. Совокупность этих положений образует так называемую «абсолютную геометрию». Но там, где в доказательстве участвует пятый постулат, Лобачевский приходит к иным выводам, чем Эвклид.

В геометрии Лобачевского, например, доказывается, что описать окружность можно не около всякого треугольника, что «сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых и для каждого треугольника имеет свое значение». В новой геометрии не существует квадрата.

Титул книги Н. И. Лобачевского.

Развивая свою геометрию, Лобачевский последовательно стремился связать геометрические образы с тем, что реально существует в природе. Его цель состоит не в развитии умозрительных понятий, а в познании природы.

«Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость, — цитировал он Ф. Бэкона, — спрашивайте природу, она хранит все тайны и на вопросы ваши будет Вам отвечать непременно и удовлетворительно». Он сам пробует проверить утверждения новой геометрии, производя астрономические наблюдения, пытается с их помощью решить вопрос о кривизне реального пространства.

Замечательные по своей глубине мысли, предвосхищающие то, что вошло в науку только в XX веке, содержатся в его труде. Он пишет, что его геометрии, «может быть, следуют молекулярные силы».

Гениальный новатор связывает геометрию с физическими процессами, от которых она была оторвана. «В природе мы познаем, — пишет Лобачевский, — собственно, только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Все прочие понятия, например, Геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи выявлены в свойствах движения, а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует». Эти слова мыслителя-материалиста — удар по идеалистическому учению о пространстве, как об умственной категории, независимой от реального мира.

Развивая свои мысли, великий математик говорит: «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Только тогда они смогут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врожденным — не должно верить».

Но самый сильный аргумент против идеалистической теории Канта — это новая геометрия, свободная от противоречий система.

Современники великого русского ученого присутствовали при рождении учения, совершившего потом революцию в науке.

«Легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой — на расхождение», — писал потом один математик. Большинство даже весьма крупных ученых Лобачевского просто не поняло.

А те, кто понял его теорию, побоялись открыто ее отстаивать, не решились стать на сторону бунтаря в науке и только в частной переписке говорили о своем восхищении теорией Лобачевского. Не нашел поддержки и замечательный венгерский математик Янош Больяи, который высказал идеи, близкие идеям русского математика.

Лобачевского начали травить. Лобачевского преследовали насмешками, издевательствами, дошли до того, что его объявили сумасшедшим.

Нужно было быть безгранично преданным своей идее, чтобы творить в таких условиях. И Лобачевский не сдался: развивая и углубляя свои мысли, он создает один мемуар за другим.

Псевдосфера — пример поверхности, на которой господствует неэвклидова геометрия Н. И. Лобачевского. Сумма углов треугольника, расположенного на псевдосфере, меньше двух прямых углов.

Лобачевский был велик не только в геометрии. Он, предвосхищая работы немецкого математика Дирихле, дал исчерпывающее определение функции — этого основного понятия высшей математики.

Могучий ум Лобачевского еще в 1835 году установил тонкое различие между функцией непрерывной и функцией дифференцируемой. Он является автором этого важного положения математики.

Затравленный, лишенный всякой поддержки, Лобачевский умер,  не дождавшись триумфа своих идей. Только после его смерти они получили мировое признание. В бумагах Гаусса впоследствии находят восторженные отзывы о работах Лобачевского. Геометрию его начинают изучать. Крупнейшие математики пришли к единодушному мнению, что новая геометрия свободна от противоречий. Были найдены геометрические поверхности, на которых господствуют ее закономерности.

Идеи Лобачевского, которые он отстаивал один на один в борьбе против ополчившейся на него косности, восторжествовали. Создатель новой геометрии гениальный Лобачевский — творец идей, полное величие которых раскрывается только теперь.

Геометрия Эвклида не потеряла и сейчас своего значения. Ею пользуются и всегда будут пользоваться в своих расчетах и ученые и инженеры. Но есть области, где многие ее утверждения уже становятся несправедливыми. В космическом мире, мире огромных масс и скоростей, и в мире внутриатомном геометрия Эвклида неприменима. Русский ученый создал геометрию, значительно более всеобъемлющую, чем геометрия Эвклида.

Идеи Лобачевского входят теперь необходимым звеном в теорию относительности, связавшую воедино геометрию с физическими процессами и величинами: с силами, массами, скоростью движущихся тел, с полями тяготения, с электромагнитными процессами.

К теории относительности обязан прибегать ученый, когда ему приходится выходить в своих исследованиях за пределы обычных скоростей и расстояний — устремляться в просторы вселенной или углубляться в мир атомов. Эта еще недавно, казалось бы, отвлеченная теория в наши дни превратилась в могучее орудие познания мира, замечательный инструмент расчета атомных процессов.

Мы не можем в полной мере предугадать, что еще подарит нам теория Лобачевского. Кто знает, может быть, идеи новой геометрии воплотятся в штурманские таблицы будущих космических кораблей.