Пафнутий Львович Чебышев

Замечательных математиков выдвинула русская наука в середине XIX века.

Первым и по времени деятельности и по значению в этой славной когорте был Пафнутий Львович Чебышев (1821 — 1894).

Пафнутий Львович Чебышев.

Жизнь Чебышева была спокойна, размеренна, внешне однообразна. Но каким бурным и напряженным было творчество этого великого бунтаря и новатора науки! Идеи Чебышева и сейчас помогают науке двигаться вперед.

Подобно Эйлеру и Остроградскому, Чебышев не чуждался практики. «Сближение теории с практикой, — говорил ученый, — дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных».

Эти идеи были девизом всей деятельности Чебышева. Многие работы его даже названия имеют совсем не математические: «О построении географических карт», «О кройке одежды», «О зубчатых колесах». В этих работах Чебышев средствами математики находит решение необычайно важных для практики вопросов о лучшем, наиболее экономичном и рациональном использовании наличных средств. Чебышев пишет: «Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы можем удовлетворить требования практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного».

В работе «О построении географических карт» ученый дает исчерпывающий ответ на вопрос, как определить такую проекцию, при которой искажение масштаба будет наименьшим. Для Европейской России Чебышев доводит решение даже до численного подсчета и показывает, что при способах черчения, соответствующих найденному им результату, искажение будет уменьшено вдвое.

Заинтересованность его в практике так велика, что он даже излагает парижским портным результаты исследований, проведенных им в работе «О кройке одежды», учит их наиболее разумному и экономичному способу расчерчивать ткань для раскройки.

Методы, найденные Чебышевым, применяются сейчас при раскройке парашютов, при конструировании различных аппаратов.

Разработав особую геометрическую сеть, П. Л. Чебышев применил ее для проектирования на плоскость поверхности сложных тел Наверху — «сеть Чебышева».
Ниже показано как эта сеть облегает сложное геометрическое тело — псевдосферу.

Запросы практики Чебышев принимает для себя как творческий заказ. Он приходит на помощь инженерам, долгое время пытавшимся усовершенствовать «параллелограмм Уатта» — механизм для превращения поступательного движения во вращательное, и дает им метод расчета этого механизма. Начав с параллелограмма Уатта, Чебышев создает свою замечательную теорию механизмов, вооружает техников умением рассчитывать и конструировать самые хитроумные сочленения рычагов, шатунов, шестерен, колес. (Об этих работах Чебышева мы будем говорить в главе «Механики и строители».)

Проблема параллелограмма Уатта потребовала от исследователя разработки совершенно новых математических методов, и он создает математическую теорию наилучшего приближения функций.

Функцией математики называют переменную величину, изменяющуюся в зависимости от изменений другой переменной величины — аргумента. Функциональная зависимость постоянно встречается в природе, науке и технике. Длина окружности есть функция радиуса; путь, проделанный движущимся телом, зависит от времени; скорость молекул газа определяется величиной температуры; синус — функция угла и т. д.

Изучение функций, функциональной зависимости — основа основ высшей математики.

Нередко при изучении проблем естествознания и техники исследователям приходится иметь дело с очень сложными функциональными зависимостями.

Чебышев сумел упростить исследование таких функций. Он нашел способ, позволяющий выражать сложные функции сколь угодно точно с помощью суммы простых алгебраических выражений. Алгебраические ряды — полиномы Чебышева — это инструмент для решения самых разнообразных задач.

Исключительное значение имеют труды Чебышева по теории вероятностей — отделу математики, занимающемуся исследованием закономерностей, управляющих случайными явлениями.

Многие ученые тогда смотрели на эту теорию, начала которой были заложены Паскалем, Ферма, Я. Бернулли, Муавром, Лапласом, Гауссом и Пуассоном, как полунауку, некое математическое развлечение. Этой теории невозможно придать такую строгость, утверждали они, чтобы ею можно было пользоваться как методом познания и исследования.

Русский математик опроверг своей деятельностью утверждения этих ученых. Чебышев строго доказал «закон больших чисел», утверждающий, что среднее арифметическое большого числа случайных, меняющихся независимо друг от друга величин равно постоянной величине. Этот основной закон, управляющий случайными явлениями, дает возможность рассчитать суммарное действие большого числа случайных величин. Закон больших чисел имеет исключительное значение для естествознания, техники, статистики. С помощью его можно в кажущемся хаосе, каким, например, представляется движение молекул газа, увидеть закономерности этого движения и отобразить их в строгих математических формулах. Закон Чебышева служит основой и в таком сугубо практическом деле, как оценка качества продукции. На элеваторах о качестве огромной груды зерна судят, исследуя зерно, зачерпнутое сравнительно небольшой меркой. Качество хлопка оценивают по выдернутым наугад из громадной кипы маленьким пучкам. Выборочные методы контроля основываются на выводах из этого закона.

Своим законом Чебышев подвел под теорию вероятностей прочный фундамент, дал ей право именоваться наукой, не менее строгой, чем все другие математические дисциплины.

Плодотворно работал Чебышев и в такой важной области математики, как теория чисел.

Гениальным по простоте и остроумию методом Чебышев доказал постулат Бертрана о распределении простых чисел (то есть делящихся только на себя и на единицу) среди остальных чисел.

Постулат, эмпирически установленный французским математиком Бертраном, утверждал, что между любым числом и числом, вдвое большим его, обязательно найдется хотя бы одно простое число.

Работа Чебышева была величайшей победой математической мысли. Путей к доказательству постулата Бертрана даже и не намечалось; математики всего мира отчаялись в возможности обосновать этот постулат. Познакомившись с работой Чебышева, один английский математик сказал, что для того, чтобы двинуться дальше в изучении вопроса распределения простых чисел, нужен ум, настолько превосходящий ум Чебышева, насколько ум Чебышева превосходит обыкновенный ум.