«Безумная» задача

Условия задачи остаются почти теми же: идеально горизонтальная плоскость и на ней пункты А и Б. Добавим дополнительное условие: кратчайшее расстояние от пункта А до пункта Б равно ста километрам. Ну, а чтобы задача не показалась сложнее предыдущей, давайте выбросим одно из условий предыдущей задачи — саблезубого тигра. Просто требуется добраться из пункта А в пункт Б. Можете делать это как угодно: пешком, верхом, на автомобиле или на коньках. НО!.. Требуется добраться из пункта А в пункт Б, пройдя (проскакав, проехав, проскользив) путь, в точности равный пятидесяти километрам.
Когда мы предложили решить эту задачу одному знакомому математику, он обиделся, решив, что мы над ним подсмеиваемся. На первый взгляд задача действительно представляется безумной, а решить ее очень просто. Художник нарисовал нам, как это сделать.


Возьмем кольцо или, если угодно, обруч, поставим его на дорогу и пойдем по внутренней стороне кольца. Для простоты вычислений предположим, что длина внешней окружности кольца равна ста километрам, или, что то же самое, внешний радиус кольца равен примерно шестнадцати километрам. Тогда на пути от пункта А до пункта Б кольцо проделает в точности один оборот.
Ровно один оборот проделает и внутренняя окружность кольца. Если внутренний радиус равен примерно восьми километрам, то длина внутренней окружности (а это и есть тот путь, который мы должны проделать, пока кольцо катится от пункта А к пункту Б) окажется равной как раз пятидесяти километрам. Именно эту величину покажет, например, счетчик пройденного расстояния, если мы совершим наш путь внутри кольца на автомобиле.
Проницательный читатель может возразить, что по условию путь надо совершать по плоскости, а в предложенном решении мы движемся по окружности, то есть все время как бы поднимаемся в гору. Это, конечно, правильно. Чудес на свете не бывает, и, выигрывая в расстоянии, мы должны в чем-то проиграть. В данном случае проигрыш сводится к тому, что мы не только сами двигаемся из пункта А в пункт Б, но и катим с собой кольцо. Однако все сказанное не противоречит условиям задачи, они ведь состояли лишь в том, чтобы достигнуть пункта Б, проделав путь, равный пятидесяти километрам.
Если внутренний радиус кольца равен восьми километрам, то навряд ли кто-нибудь заметит, что он движется не по плоскости, а по криволинейной поверхности. Точно так же, идя по земле, мы не замечаем, что ходим по поверхности шара. И, наконец, вспомним, как мы в детстве катали обруч. В том и состоит прелесть этого занятия, что обруч достаточно подтолкнуть, а дальше он катится сам. То же самое будет происходить и с нашим кольцом.
А теперь вернемся к первоначальной задаче. Влезем внутрь кольца, втащим туда же тушу саблезубого тигра и потащим ее за хвост. Заметим попутно, что вовсе не обязательно поднимать тигра на высоту восемь километров. Ведь столь большое кольцо мы придумали для простоты вычислений. На самом деле оно может быть меньше. Все, что требуется, это, во-первых, чтобы внутренний радиус был вдвое меньше внешнего, а во-вторых, чтобы мы поместились внутри кольца вместе с ношей.
И снова — в путь. Тащим саблезубого тигра за хвост. Если коэффициент трения остался прежним, то силу мы прикладываем ту же — примерно одну треть веса. Но тащить приходится вдвое меньшее расстояние.
Наш знакомый математик, когда мы ему открыли наш секрет, сразу же предложил: «Давайте устремим внутренний радиус кольца к нулю, тогда можно будет переместиться на сто километров, вообще не проходя никакого расстояния!» Хорошо быть математиком. Ведь действительно прекрасное решение. И нужно всего-навсего самому превратиться в точку, не имеющую размеров, чтобы забраться внутрь такого кольца.


Потомки каменного топора